Ca fait quelques temps que je pense à reposter (et réécrire partiellement) un article que j'avais écrit sur mon précédent blog en 2008. Il parle d'un objet mathématique que je trouve vraiment beau, et qui n'est pas trop difficile à appréhender, l'hypercube.

Plus il maîtrise des outils complexes, plus le mathématicien arrive à créer et à envisager des objets qui s'éloignent de plus en plus de la réalité immédiate et tangible. Parmi ces objets, il en est un que je trouve particulièrement beau et fascinant. Il est nécessairement intriguant, car il touche à la 4^ème dimension, mais je trouve qu'il n'est pas excessivement difficile à aborder (1). L'hypercube existe, il échappe à notre perception matérielle et à notre expérience quotidienne ; on ne peut l'atteindre que par l'entendement, et avec des approches dans la 3^ème dimension.

La translation d'un point (0-D) donne un segment (1-D). La translation du segment donne un carré (2-D). La translation du carré donne un cube (3-D). Et la translation du cube dans la quatrième dimension donne un hypercube (4-D).

Il y a plusieurs manières d'imaginer l'hypercube. Par exemple, imaginons que nous devons expliquer ce qu'est un cube à un individu en deux dimensions, qui vivrait sur une feuille de papier, et qui n'a absolument aucune idée de ce qu'est la troisième dimension (mettons que cet individu, Flatman, habite Flatland).

La première méthode est de faire passer le cube à travers la feuille de papier. Si on fait traverser le cube avec une de ses faces parallèles à la feuille, Flatman verra apparaître un carré pendant une durée finie (2).

Pour suivre cette analogie, le plus simple à mon avis est de s'imaginer la quatrième dimension comme étant le temps. On peut alors imaginer que l'hypercube (permanent) traverse nos 3 dimensions : on verrait alors un cube apparaître pendant une durée fixe.

La deuxième méthode est de présenter à Flatman le patron d'un cube. Ce patron se présente sans difficulté en 2-D. Le cube possède 8 sommets, 12 arrêtes, 6 faces carrées. On peut aplatir ces 6 faces dans la deuxième dimension pour former un patron :

De la même façon, l'hypercube peut se construire à partir de cubes. C'est un solide régulier dans la dimension 4 ; il a 16 sommets, 32 arrêtes, 24 faces planes carrées et... 8 faces cubiques ! On peut "aplatir" ses 8 faces cubiques dans la dimension 3 pour en former un patron :

Dali a peint un tableau absolument fascinant où il représente le Christ crucifié sur une croix qui est en fait le patron de l'hypercube (3).

Une troisième méthode est de projeter le cube sur la feuille où vit Flatman. Il verra alors l'image assez familière d'un cube dessiné. Une analogie concrète de cette projection mathématique est de penser à l'ombre d'un squelette de cube (les arrêtes, sans les faces) projetée sur un mur.

Il est donc possible de projeter de la même façon l'hypercube dans la 3-D. Une des projections possibles donne le résultat suivant (4) :

Ceci ne correspond à rien ? Pas sûr. L'arche de la Défense est entièrement construite sur la base d'une projection d'un hypercube en dimension 3... (5)

(1) A titre d'exemple, je trouve qu'il est plus dur de se représenter une hypersphère ou un hypertétraèdre.

(2) Si on ne se soucie pas d'avoir une face parallèle à la feuille, ce qu'il verrait serait un peu plus complexe. Il pourrait d'abord voir par exemple un point, puis un trianqle équilatéral qui grandirait, puis se transformerait en polygone à 6 côtés, redeviendrait un triangle équilatéral qui diminuerait en taille, jusqu'à devenir un point et disparaître. Ceci, si le passage se fait perpendiculairement à une diagonale du cube. Il pourrait aussi voir un segment apparaître, se transformer en rectangle qui grandit et rapetisse, jusqu'à redevenir un segment avant de disparaître...

(3) Et de manière générale, Dali a souvent été inspiré par les mathématiques dans ses oeuvres, surtout vers la fin de sa vie.

(4) Enfin, bien sûr, ceci n'est encore que la projection sur un plan de la projection dans l'espace de l'hypercube...

(5) Elle est construite sur une projection qui n'est pas exactement celle que je présente, mais qui est celle-ci, et c'est assez flagrant si on regarde une vue de l'Arche. Bien sûr, la projection est légèrement déformée.